Question

4．已知F是拋物線C：y²=2px的焦點，M、N是拋物線C上兩個動點，OM，ON的傾斜角分別為θ₁、θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，求證：MN過定點．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN的方程為y=kx+m，將直線方程與y²=2px聯(lián)立，消去x，由韋達(dá)定理知y₁+y₂，y₁y₂．通過θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$時，利用直線的斜率以及兩角和的正切函數(shù)，推出mk分關(guān)系，得到直線MN恒過定點．

解答 證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），y²=2px，
由題意得x₁≠x₂且x₁，x₂≠0，
所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，
則x₁=$\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}$，x₂=$\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}$，
將y=kx+m與y²=2px聯(lián)立消去x，得：ky²-2py+2pm=0．
則：y₁+y₂=$\frac{2p}{k}$，y₁y₂=$\frac{2pm}{k}$，
OM，ON的傾斜角分別為θ₁、θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，
又tanθ₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}}$，tanθ₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{2}}$，
所以，$\sqrt{3}$=tan（θ₁+θ₂）=$\frac{tan{θ}_{1}+tan{θ}_{2}}{1-tan{θ}_{1}tan{θ}_{2}}$=$\frac{\frac{2p}{{y}_{1}}+\frac{2p}{{y}_{2}}}{1-\frac{2p}{{y}_{1}}•\frac{2p}{{y}_{2}}}$=$\frac{2p（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}{y}_{2}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p×\frac{2p}{k}}{\frac{2pm}{k}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p}{m-2kp}$．
即m=2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，
直線MN的方程為y=kx+2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，即y+$\frac{2p}{\sqrt{3}}$=k（x+2p），
所以，直線MN恒過定點（-2p，-$\frac{2\sqrt{3}p}{3}$）．

點評 本題考查拋物線中系數(shù)p的求法，考查直線EF恒過定點的證明，并求出該定點的坐標(biāo)，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．