Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=，AD=，EF=2．
（1）證明：AE∥平面DCF；
（2）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C為；
（3）在（2）的條件下，求幾何體ABE-DCF的體積．

Answer 1

（1）證明：過點E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，
可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形
所以AD∥EG且AD=EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形
故AE∥DG
因為AE?平面DCF，DG?平面DCF
所以AE∥平面DCF
（2）解：∵平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BEFC
過點B作BH⊥FE交FE的延長線于H，連接AH，∴AH⊥FE．
故∠AHB是二面角A-EF-C的平面角．
在Rt△EFG中，因為EG=AD=，EF=2，所以∠CFE=60°，GF=1．
∵∠CEF=，∴CF=4，∴BE=GC=3
∴BH=BCsin∠BEH=
∴AB=BHtan∠AHB==
∴當AB的長為時，二面角A-EF-C為．
（3）解：連接AF，F(xiàn)B，則幾何體ABE-DCF的體積為V=V_F-ABE+V_F-ABCD=+=．
分析：（1）過點E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，證明四邊形ADGE為平行四邊形，可得AE∥DG，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到AE∥平面DCF；
（2）過點B作BH⊥FE交FE的延長線于H，連接AH，證明∠AHB是二面角A-EF-C的平面角，求得BH=BCsin∠BEH=，即可求得AB的長；
（3）連接AF，F(xiàn)B，則幾何體ABE-DCF的體積為V=V_F-ABE+V_F-ABCD，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查幾何體體積的計算，屬于中檔題．