Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，且b²=ac，則$\frac{a+c}$的值為
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• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 已知等式bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，利用正弦定理化簡，整理求出tanB的值，進而確定出B的度數(shù)，把b²=ac利用正弦定理化簡，將sinB的值代入求出sinAsinC的值，再利用積化和差公式變形將cos（A+C）=-cosB代入得到A=C，確定出三角形為等邊三角形，即可求出所求式子的值．

解答 解：把bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，利用正弦定理化簡得：sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
即sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，
∵A為△ABC內(nèi)角，∴sinA≠0，
∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，即tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
把b²=ac，利用正弦定理化簡得：sin²B=sinAsinC，即sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
整理得：-$\frac{1}{2}$[cos（A+C）-cos（A-C）]=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$cos（A-C）=$\frac{3}{4}$，即cos（A-C）=1，
∴A-C=0，即A=C=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC為等邊三角形，即a=b=c，
則$\frac{a+c}$=$\frac{1}{2}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，積化和差公式，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．