Question

6．在區(qū)間[-π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為m，n，則使得函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²-（n²-π）x+1有極值點(diǎn)的概率為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）有極值，得到f'（x）=0有兩個(gè)不同的根，求出a、b的關(guān)系式，利用幾何概型的概率公式即可的得到結(jié)論

解答 解：在區(qū)間[-π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為m，n，則使得函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²-（n²-π）x+1有極值點(diǎn)
則f′（x）=x²+2mx-（n²-π）=0有兩個(gè)不同的根，
即判別式△=4m²+4（n²-π）＞0，即m²+n²＞π對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為4π²-π²．
如圖

∴由幾何概型的概率公式可得對(duì)應(yīng)的概率P=$\frac{4{π}^{2}-{π}^{2}}{4{π}^{2}}=\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，利用函數(shù)取得極值的條件求出對(duì)應(yīng)a的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵