Question

（1）已知：sinα+sinβ=

3

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cosα+cosβ=

4

5

求cos（α-β）的值
（2）將（1）中已知條件進(jìn)行適當(dāng)改變，能否求出sin（α-β）的值，若能求出其值，若不能請(qǐng)說明理由．
（3）你能依此也創(chuàng)設(shè)一道類似題嗎？或?qū)⒈纠�推廣到一般情形．

Answer 1

分析：（1）由兩角差的余弦公式以及cosα+cosβ=

4

5

，sinα+sinβ=

3

5

，可對(duì)此兩方程平方相加，即可求得cos（α-β）的值；
（2）由于sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，知需要求出正弦與余弦交叉項(xiàng)的乘積，由此改變條件即可；
（3）由前兩小題知，知兩角正弦和與余弦和則可解出兩角差的余弦，知兩角正弦與余弦和，則可求出兩角差的正弦．

解答：解：（1）由題意sinα+sinβ=

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5

，cosα+cosβ=

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5

，將此兩方程平方相加得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1
即2cos（α-β）=-1，解得cos（α-β）=-

1

2

（2）可交換兩個(gè)方程中角β的函數(shù)名且將其中一個(gè)方程中的加號(hào)改為減號(hào)，再平方相加得到sin（α-β）的值
可令sinα+cosβ=

3

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，cosα-sinβ=

4

5

將此兩方程平方相加2-2（sinαcosβ-cosαsinβ）=1，即sin（α-β）=-

1

2

（3）由上知，若已知兩角正弦的和與余弦的和，可求出兩角差的余弦，
若已知兩角正弦與余弦的和，兩解余弦與正弦的差，可求出兩差的正弦．

點(diǎn)評(píng)：本題本兩角和與差的正弦函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式，本題的難點(diǎn)是對(duì)第二小題的分析探究，要注意根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)展開式尋求條件的改進(jìn)方法