Question

設函數(shù)f（x）=x-1-

lnx

x

．
（Ⅰ）令N（x）=x²-1+lnx，判斷N（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并求所有的零點；
（Ⅱ）求f（x）在定義域上的最小值；
（Ⅲ）求證：對任意n∈N^*，n≥2，都有：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…

1

lnn

＞1-

1

n

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導判定N（x）單調(diào)性，再求零點；
（Ⅱ）求導找到最小值；
（Ⅲ）由f（x）≥0推

1

lnk

＞

1

k2-k

=

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，得解．

解答： 解：（Ⅰ）∵N′（x）=2x+

1

x

＞0，
∴N（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
那么N（x）在（0，+∞）上至多有一個零點，
由N（1）=1-1+0=0，則N（x）在（0，+∞）上唯一零點為x=1．
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞）；
f′（x）=1-

1-lnx

x2

=

N(x)

x2

，
則①當0＜x＜1時，N（x）＜0，則f′（x）＜0，
②當x＞1時，N（x）＞0，則f′（x）＞0，
則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
則f（x）_min=f（1）=0．
（Ⅲ）由f（x）=x-1-

lnx

x

≥0可得，
x²-x≥lnx（x＞0）
令x=k≥2，
則k²-k＞0，lnk＞0，k²-k＞lnk；
則

1

lnk

＞

1

k2-k

=

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

則

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…

1

lnn

＞

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

．

點評：本題綜合性很強，考查了導數(shù)的綜合應用，零點個數(shù)的判定，不等式的證明及裂項求和的方法，屬于難題．