Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求證：平面PAD與平面PAB垂直；
（2）求直線PC與直線AB所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明BC⊥PB，BC⊥AB，進(jìn)而證明BC⊥平面PAB；（2）確定直線PC與直線AB所成的角為∠PCD；在三角形中求解．

解答： 解：（1）證明：∵∠PBC=90°，
∴BC⊥PB，
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，
∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB．
（2）∵AB∥CD，
∴∠PCD為直線PC與直線AB所成的角，
在直角三角形PAD中，
∵PA=AD=1，
∴PD=

2

，
在△PAB中，∵PA=1，AB=2，∠PAB=120°，
∴PB=

1+22-2•1•2•cos120°

=

1+4+2

=

7

；
在Rt△PAC中，PC=2

2

，
在△PCD中，cos∠PCD=

4+8-2

2×2×2 2

=

5 2

8

故直線PC與直線AB所成角的余弦值為

5 2

8

．

點(diǎn)評(píng)：考查了線面垂直的判定定理，同時(shí)考查了余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．