Question

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x³-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x₁，曲線C與其在點(diǎn)P₁（x₁，f（x₁））處的切線交于另一點(diǎn)P₂（x₂，f（x₂）），曲線C與其在點(diǎn)P₂（x₂，f（x₂））處的切線交于另一點(diǎn)P₃（x₃，f（x₃）），線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₁，S₂．則為定值；
（Ⅱ）對(duì)于一般的三次函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），請(qǐng)給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（i）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0解得的區(qū)間為增區(qū)間和fˊ（x）＜0解得的區(qū)間為減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間不能并；
（ii）先求出點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的橫坐標(biāo)的關(guān)系，再求定積分求出圍成封閉圖形的面積S₁，利用同樣的方法求出面積S₂即可．
（Ⅱ）根據(jù)類似（Ⅰ）的命題方法進(jìn)行求解，可知曲線C′與其在點(diǎn)P₁（x₁，g（x₁））處的切線交于另一點(diǎn)P₂（x₂，g（x₂）），再求出P₃，從而進(jìn)行求解；
解答：解：（Ⅰ）（i）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=3（x-）（x+），
當(dāng)x∈（-∞，-）和（，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-，）時(shí)，f′（x）＜0，
因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-）和（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-，）；
（ii）曲線C與其在點(diǎn)P₁處的切線方程為y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，即
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，由；
解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，
進(jìn)而有S₁=|（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=，用x₂代替x₁，重復(fù)上述計(jì)算過程，可得
x₃=-2x₂和S₂=，∴=；圖形
（Ⅱ）類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題為：
若對(duì)于任意不等于的實(shí)數(shù)x₁，曲線C′與其在點(diǎn)P₁（x₁，g（x₁））處的切線交于另一點(diǎn)P₂（x₂，g（x₂）），
曲線C′與其在點(diǎn)P₂（x₁，g（x₁））處的切線交于另一點(diǎn)P₃（x₃，g（x₁）），線段P₁P₂、P₂P₃與曲線C′所圍成封閉
圖形的面積分別記為S₁，S₂，則為定值；
證明如下：
因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小，
故可將曲線y=g（x）的對(duì)稱中心（，g（））
平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，因而不妨設(shè)g（x）=ax³+hx，且x₁≠0，類似（Ⅰ）（ii）的計(jì)算可得：S₁=，S₂=，故=；
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想．