Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，-2），點C滿足，其中m，n∈R且m-2n=1．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與雙曲線（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值；
（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實軸長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量等式，得點C的坐標，消去參數即得點C的軌跡方程；
（2）將直線與雙曲線方程組成方程組，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再結合向量的垂直關系得到關于a，b的關系，化簡即得結論．
（3）由（2）得從而又e得出．解得雙曲線實軸長2a的取值范圍即可．
解答：解：（1）設C（x，y），∵
∴（x，y）=m（1，0）+n（0，-2）．
∴∵m-2n=1，
∴x+y=1
即點C的軌跡方程為x+y=1（15分）
（2）由得（b²-a²）x²+2a²x²-a²-a²b²=0
由題意得（8分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則
∵以MN為直徑的圓過原點，∴．即x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=．即b²-a²-2a²b²=0．
∴為定值．（14分）
（3）∵
∴
∵e∴．
∴
解得：0＜a≤，0＜2a≤1
∴雙曲線實軸長的取值范圍是（0，1]．
點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．