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【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數,當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數.
(Ⅰ)當0≤x≤200時,求函數v(x)的表達式;
(Ⅱ)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數,單位:輛/小時)f(x)=xv(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).

【答案】解:(Ⅰ) 由題意:當0≤x≤20時,v(x)=60;當20<x≤200時,設v(x)=ax+b
再由已知得 ,解得
故函數v(x)的表達式為
(Ⅱ)依題并由(Ⅰ)可得
當0≤x<20時,f(x)為增函數,故當x=20時,其最大值為60×20=1200
當20≤x≤200時,
當且僅當x=200﹣x,即x=100時,等號成立.
所以,當x=100時,f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值
綜上所述,當x=100時,f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值為 ,
即當車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大值,最大值約為3333輛/小時.
答:(Ⅰ) 函數v(x)的表達式
(Ⅱ) 當車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大值,最大值約為3333輛/小時
【解析】(Ⅰ)根據題意,函數v(x)表達式為分段函數的形式,關鍵在于求函數v(x)在20≤x≤200時的表達式,根據一次函數表達式的形式,用待定系數法可求得;(Ⅱ)先在區(qū)間(0,20]上,函數f(x)為增函數,得最大值為f(20)=1200,然后在區(qū)間[20,200]上用基本不等式求出函數f(x)的最大值,用基本不等式取等號的條件求出相應的x值,兩個區(qū)間內較大的最大值即為函數在區(qū)間(0,200]上的最大值.

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空氣質量指數t

(0,50]

(50,100]

(100,150]

(150,200]

(200,300]

質量等級

優(yōu)

輕微污染

輕度污染

中度污染

嚴重污染

天數K

5

23

22

25

15

10

(1)在該城市各醫(yī)院每天收治上呼吸道病癥總人數y與當天的空氣質量t(t取整數)存在如下關系y=,且當t>300時,y>500估計在某一醫(yī)院收治此類病癥人數超過200人的概率;

(2)若在(1)中,當t>300時,y與t的關系擬合于曲線,現已取出了10對樣本數據(ti,yi)(i=1,2,3,…,10),且,求擬合曲線方程.

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D.1

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