22.

    設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).

   (Ⅰ)確定的取值范圍,并求直線AB的方程;

(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說明理由.

22.本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識以及推理運(yùn)算能力和綜合解決問題的能力.

(I)解法1:依題意,可設(shè)直線AB的方程為,整理得

   ①

設(shè)①的兩個(gè)不同的根,

   ②

是線段AB的中點(diǎn),得

解得k=-1,代入②得,>12,即的取值范圍是(12,+).

于是,直線AB的方程為

解法2:設(shè)

依題意,

(II)解法1:

代入橢圓方程,整理得

  ③

③的兩根,

于是由弦長公式可得

   ④

將直線AB的方程

   ⑤

同理可得

    ⑥

假設(shè)存在>12,使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓,則CD必為圓的直徑,點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為

     ⑦

于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故當(dāng)時(shí),A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心,為半徑的圓上.

(注:上述解法中最后一步可按如下解法獲得)

A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形,A為直角

   ⑧

由⑥式知,⑧式左邊=

由④和⑦知,⑧式右邊=

                  

∴⑧式成立,即A、B、C、D四點(diǎn)共圓

解法2:由(II)解法1及

代入橢圓方程,整理得

       ③

將直線AB的方程代入橢圓方程,整理得

   ⑤

解③和⑤式可得

 

不妨設(shè)

).

。

計(jì)算可得,∴A在以CD為直徑的圓上.

又B為A關(guān)于CD的對稱點(diǎn),∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

(注:也可用勾股定理證明AC⊥AD).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

A組:直角坐標(biāo)系xoy中,已知中心在原點(diǎn),離心率為
1
2
的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C:x2+y2-4x+2=0的圓心.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn),過P作兩條斜率之積為
1
2
的直線l1,l2.當(dāng)直線l1,l2都與圓C相切時(shí),求P的坐標(biāo).
B組:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).已知點(diǎn)(1,e)和(e,
3
2
)
都在橢圓上,其中e為橢圓離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P,若AF1-BF2=
6
2
,求直線AF1的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).已知(1,e)和(e,
3
2
)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P.
(i)若AF1-BF2=
6
2
求直線AF1的斜率;
(ii)求證:PF1+PF2是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(05年湖北卷)(12分)

設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).

     (Ⅰ)確定的取值范圍,并求直線AB的方程;

(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說明理由.

        (此題不要求在答題卡上畫圖)

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江蘇省高二第二次月考數(shù)學(xué)試卷 題型:填空題

設(shè)A、B是橢圓上不同的兩點(diǎn),點(diǎn)C(-3,0),若A、B、C共線,則的取值范圍是    ▲   

 

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