14、已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），且f（a2-3a+2）=f（a-1），則滿足條件的所有整數(shù)a的和是
6
．
分析：根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，我們可以求出函數(shù)為一個(gè)偶函數(shù)，則f（a2-3a+2）=f（a-1），可以轉(zhuǎn)化為|a2-3a+2|=|a-1|，又由絕對值的幾何意義，我們可得f（0）=f（1）=f（-1），可知a=2也滿足要求，進(jìn)而得到答案．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2011|
=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|=f（x）
即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
若f（a2-3a+2）=f（a-1），
則a2-3a+2=a-1，或a2-3a+2=-（a-1）
即a2-4a+3=0，或a2-2a+1=0
解得a=1，或a=3
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴當(dāng)a=2時(shí)，也滿足要求
故滿足條件的所有整數(shù)a的和是1+2+3=6
故答案為6
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，及絕對值的幾何意義，解答本題的技巧性較強(qiáng)，難度也比較大，其中分析出函數(shù)的奇偶性，從面將f（a2-3a+2）=f（a-1），轉(zhuǎn)化為一個(gè)絕對值方程是解答本題的關(guān)鍵，但易忽略f（0）=f（1）=f（-1），而錯(cuò)解為4．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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