Question

設(shè)f（x）=

ax

x+a

（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又令b_n=a_na_n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項的和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，先求出a₁，a₂，a₃，a₄，然后觀察它們的規(guī)律，猜想出a_n，再用數(shù)學歸納法進行證明．
（2）由b_n=a_na_n+1=

a

a+n-1

•

a

a+n

=a2(

1

a+n-1

-

1

a+n

)，可用裂項法進行求和．

解答：解：（1）a₁=1，a2=f(1)=

a

1+a

，a3=f(

a

a+1

) =

a× a a+1

a a+1 +a

=

a

a+2

，a4=f(

a

a+2

) =

a× a a+2

a a+2 +a

=

a

a+3

，由此猜想an=

a

a+n-1

．下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想．
①當n=1時，a1=

a

a+1-1

=1，等式成立．
②假設(shè)當n=k時，等式成立．即ak=

a

a+k-1

．
當n=k+1時，ak+1=f(ak) =

a× a a+k-1

a a+k-1 +a

=

a

a+k

，等式成立．由①②知an=

a

a+n-1

．
（2）∵b_n=a_na_n+1=

a

a+n-1

•

a

a+n

=a2(

1

a+n-1

-

1

a+n

)，
數(shù)列{b_n}的前n項的和=b₁+b₂+…+b_n=a2(

1

a

-

1

a+1

) +a2(

1

a+1

-

1

a+2

) +…+a2(

1

a+n-1

-

1

a+n

)
=a2(

1

a

-

1

a+n

)．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法和數(shù)列求和，解題時要注意數(shù)學歸納法和裂項求和法的應(yīng)用．