設(shè)f（x）=
ax
x+a
（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又bn=an•an+1，n∈N*
（1）判斷數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列并證明；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
分析：（1）由題意可得：an+1=
a•an
an+a
．將其變形可得
1
an+1
-
1
an
=
1
a
，由等差數(shù)列的定義進(jìn)而得到答案．
（2）由（1）可得
1
an
=1+(n-1)
1
a
，an=
a
n+a-1
．
（3）設(shè)Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．由（1）可得bn=an•an+1=a（an-an+1），利用分組求和的方法求出答案即可．
解答：解：（1）由an+1=f（an）可得：an+1=
a•an
an+a
．
將其變形可得an•an+1=a（an-an+1），即
1
an+1
-
1
an
=
1
a
，
所以數(shù)列{
1
an
}是首項(xiàng)為1，公差為
1
a
的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得
1
an
=1+(n-1)
1
a
，
所以
1
an
=
n-1+a
a
，即an=
a
n+a-1
．
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
a
n+a-1
．
（3）設(shè)Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
由（1）可得bn=an•an+1=a（an-an+1），
所以Sn=a(a1-an+1)=
na
n+a
．
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
na
n+a
．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)列掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的公式，以及其他數(shù)列求和的方法如分組求和、錯(cuò)位相減、倒序相加、裂項(xiàng)相消等方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=log
1
2
(
1-ax
x-1
)為奇函數(shù)，a為常數(shù)，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（Ⅲ）若對(duì)于[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞(
1
2
)x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=
axx+a
（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又令bn=anan+1，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•徐匯區(qū)一模）設(shè)函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f（f（x））的定義域交集為D．若對(duì)任意的x∈D，都有f（f（x））=x，則稱函數(shù)f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x+1和g（x）=2x-1是否是集合M的元素，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=log2(1-2x)，試求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x），并證明f-1（x）∈M；
（3）若f（X）=
axx+b
∈M（a，b為常數(shù)且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)f（x）=
ax
x+a
（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又bn=an•an+1，n∈N*
（1）判斷數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列并證明；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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