Question

9．設(shè)實(shí)數(shù)a＞-1，b＞0，且滿足ab+a+b=1，則$\frac{ab+b}{b+2}$的最大值為6-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知條件可得b=$\frac{1-a}{a+1}$且-1＜a＜1，代入消元并變形可得$\frac{ab+b}{b+2}$=-[（a+3）+$\frac{8}{a+3}$]+6，由基本不等式求最值的方法可得．

解答 解：∵a＞-1，b＞0，且滿足ab+a+b=1，
∴（a+1）b=1-a，∴b=$\frac{1-a}{a+1}$，
由b=$\frac{1-a}{a+1}$＞0可得-1＜a＜1，
∴$\frac{ab+b}{b+2}$=$\frac{（a+1）•\frac{1-a}{a+1}}{\frac{1-a}{a+1}+2}$=$\frac{-{a}^{2}+1}{a+3}$
=$\frac{-（a+3）^{2}+6（a+3）-8}{a+3}$
=-（a+3）-$\frac{8}{a+3}$+6
=-[（a+3）+$\frac{8}{a+3}$]+6
≤-2$\sqrt{（a+3）•\frac{8}{a+3}}$+6=6-4$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)（a+3）=$\frac{8}{a+3}$即a=3-2$\sqrt{2}$時(shí)取等號，
∵a=3-2$\sqrt{2}$滿足-1＜a＜1，
∴$\frac{ab+b}{b+2}$的最大值為：6-4$\sqrt{2}$
故答案為：6-4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，消元并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬中檔題．