Question

【題目】已知右焦點(diǎn)為F的橢圓C： + =1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（1， ），直線(xiàn)x=a與拋物線(xiàn)L：x2= y交于點(diǎn)N，且 = ，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
①若直線(xiàn)l與x軸垂直，過(guò)點(diǎn)P（4，0）的直線(xiàn)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線(xiàn)AE與x軸相交于定點(diǎn)；
②已知D為橢圓C的左頂點(diǎn)，若l與直線(xiàn)DM平行，判斷直線(xiàn)MA，MB是否關(guān)于直線(xiàn)FM對(duì)稱(chēng)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)N（a，y0），連接MN，由 = ，則OMNF為平行四邊形，則y0= ，

將M（1， ）代入拋物線(xiàn)方程：解得：a=2，

將M（1， ）代入橢圓方程： ，解得：b2=3，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）解：①證明：由題意，直線(xiàn)PB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)PB的方程為y=k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），

則A（x1，﹣y1）， ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，

x1+x2= ，x1x2= ，①

則直線(xiàn)AE的方程為：y﹣y2= （x﹣x2），令y=0，x=x2﹣ ，

由y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

∴x= ，

∴x=1，

∴直線(xiàn)AE與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）；

②由題意可知，直線(xiàn)MF的方程為x=1，則kOM= ，設(shè)直線(xiàn)l：y= x+n，（n≠1），

設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4）， ，整理得：x2+nx+n2﹣3=0，

△=n2﹣4×（n2﹣3）=12﹣3n2＞0，即b∈（﹣2，2），且n≠1，

x3+x4=﹣n，x3x4=n2﹣3，

則kMA+kMB= + = +

=1+ + =1+ =1﹣ =0，

直線(xiàn)MA，MB關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)

【解析】（1）將由 = ，即可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，將M代入拋物線(xiàn)方程，即可求得a，代入橢圓方程，即可求得b的值，即可求得橢圓方程；（2）①設(shè)直線(xiàn)PB的方程，設(shè)B，E點(diǎn)坐標(biāo)，將直線(xiàn)PB代入橢圓方程，求得直線(xiàn)AE的方程，利用韋達(dá)定理即可求得x的值，直線(xiàn)AE與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）；

②設(shè)直線(xiàn)l的方程，代入橢圓方程，由△＞0，即可求得n的取值范圍，利用直線(xiàn)的斜率公式及韋達(dá)定理kMA+kMB=0，則直線(xiàn)MA，MB關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)．