Question

（2010•馬鞍山模擬）已知向量

a

=(2cos，2sinx)，向量

b

=(

3

cosx，-cosx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

-

3

．
（1）求函數(shù)f（x）（2）的最小正周期；
（3）求函數(shù)f（x）（4）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（5）求函數(shù)f（x）（6）在區(qū)間[

π

12

，

7π

12

]（7）上的值域．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算及二倍角、輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡可得f(x)=

a

•

b

-

3

=2cos(2x+

π

6

)
（1）根據(jù)周期公式可求
（2）結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可得2kπ+π≤2x+

π

6

≤2kπ+2π，從而可求
（3）由

π

12

≤x≤

7π

12

可得

π

3

≤2x+

π

6

≤

4π

3

 結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：f(x)=

a

•

b

-

3

=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

=

3

(1+cos2x)-sin2x-

3

=2cos(2x+

π

6

)
（1）根據(jù)周期公式可得，T=π
（2）由2kπ+π≤2x+

π

6

≤2kπ+2π得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

5π

12

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]
（3）∵

π

12

≤x≤

7π

12

∴

π

3

≤2x+

π

6

≤

4π

3

∴-1≤cos(2x+

π

6

)≤

1

2

∴-2≤f（x）≤1

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的運(yùn)算為切入點(diǎn)主要考查了二倍角公式、輔助角公式的應(yīng)用，還考查了三角函數(shù)的性質(zhì)：周期性，單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的值域的求解，屬于基本知識(shí)的簡單運(yùn)用．