Question

已知向量

OA

=3i-4j，

OB

=6i-3j，

OC

=（5-m）i-（3+m）j，其中i，j分別是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量．
（1）若點A，B，C能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件；
（2）對任意m∈[1，2]，不等式

AC

²≤-x²+x+3恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）依題意，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，可得到點A、B、C的坐標(biāo)，若A、B、C三點共線，則

AB

=t

AC

，可求得t與m的值，從而可得A、B、C三點不共線，即A，B，C能構(gòu)成三角形時實數(shù)m應(yīng)滿足的條件；
（2）依題意，可求得(

AC

2)max=1，解不等式-x²+x+3≥1即可求得x的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，則A（3，-4），B（6，-3），C（5-m，-3-m），
∵A，B，C能構(gòu)成三角形，
則A、B、C三點不共線，
若A、B、C三點共線，則

AB

=t

AC

?（3，1）=t（2-m，1-m），即

2t-tm=3 t-tm=1

，
解得

t=2 m= 1 2

；
∴當(dāng)m≠

1

2

時，A，B，C能構(gòu)成三角形；
（2）∵

AC

=（2-m，1-m），m∈[1，2]，
∴

AC

²=（2-m）²+（1-m）²=2m²-6m+5=2（m-

3

2

）²+

1

2

，其對稱軸為m=

3

2

，
當(dāng)m∈[1，

3

2

]時，該函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)m∈[

3

2

，2]時，該函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)m=1或m=2時，

AC

²取得最大值1．
∵對任意m∈[1，2]，不等式

AC

²≤-x²+x+3恒成立，
∴-x²+x+3≥(

AC

2)max=1，
即x²-x-2≤0，
解得：-1≤x≤2．
∴x的取值范圍為[-1，2]．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，主要考查平面向量的坐標(biāo)運算，考查共線向量基本定理的應(yīng)用，考查二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)與解不等式的能力，考查轉(zhuǎn)化思想，是難題．