Question

在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對?x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|＜M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)．則下列定義在R上的函數(shù)中，不是有界函數(shù)的是（　　）

• A、f（x）=sinx²
• B、f（x）=

  1

  x2+1

• C、f（x）=-2^1-|x|
• D、f（x）=-log₂（1+|x|）

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)有界函數(shù)的定義容易判斷A，B，C的三個函數(shù)都是有界函數(shù)，所以不是有界函數(shù)的是D．

解答： 解：存在常數(shù)2，使|sinx²|＜2，∴f（x）=sinx²是有界函數(shù)；
存在常數(shù)2，使|

1

x2+1

|＜2，∴f（x）=

1

x2+1

是有界函數(shù)；
∵1-|x|≤1，∴0＜2^1-|x|≤2，∴|-2^1-|x||≤2，∴存在常數(shù)3使|-2^1-|x||＜3，∴f（x）=-2^1-|x|是有界函數(shù)；
∵1+|x|≥1，∴l(xiāng)og₂（1+|x|）≥0，∴|-log₂（1+|x|）|≥0，∴不存在常數(shù)M，使：|-log₂（1+|x|）|＜M，所以f（x）=-log₂（1+|x|）不是有界函數(shù)．
故選D．

點評：考查對有界函數(shù)定義的理解，正弦函數(shù)的取值范圍，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域．