Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2x-3．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a的解集為{x|x≠-1}，試求實數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a在[-3，3]內(nèi)有解，試求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）＞ax-7對一切x∈（0，3）恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,一元二次不等式的解法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，x=-1時，f（-1）=a；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＞a在[-3，3]內(nèi)有解，∴在[-3，3]內(nèi)，f（x）_max＞a；
（3）f（x）＞ax-7對一切x∈（0，3）恒成立，即a＜x+

4

x

+2．

解答： 解：（1）由題意，x=-1時，f（-1）=a，∴a=-4；                              …（5分）
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＞a在[-3，3]內(nèi)有解，∴在[-3，3]內(nèi)，f（x）_max＞a，
∵f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4，∴f（x）_max=f（3）=12，∴a＜12，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，12）；                                               …（10分）
（3）f（x）＞ax-7對一切x∈（0，3）恒成立，即a＜x+

4

x

+2，
∴x∈（0，3），∴x+

4

x

≥4，
∴x+

4

x

+2≥6，
∴a＜6，即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，6）…（16分）

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查一元二次不等式的解法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．