已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的兩根且α為銳角,求t的值.
分析:由已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的兩根,結(jié)合韋達定理(一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系),易得到一個兩根之和及兩根之積的表達式,結(jié)合α為銳角,易求出t的取值范圍,再利用同角三角函數(shù)關(guān)系,可以構(gòu)造一個關(guān)于t的方程,解方程即可求出t的值.
解答:解:由韋達定理得sinα+cosα=
2t+1
5
,cosα•sinα=
t2+t
25
(4分)
∵α為銳角
∴sinα>0,cosα>0,
則2t+1>0且t2+t>0
得t>0(8分)
(2t+1)2
25
-2•
t2+t
25
=1

解之得:t=3或t=-4(舍去),
∴t=3(12分)
點評:本題考查的知識點是一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系,及同角三角函數(shù)關(guān)系,其中利用韋達定理(一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系),得到sinα+cosα=
2t+1
5
cosα•sinα=
t2+t
25
是解答本題的關(guān)鍵.
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( 。

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