Question

【題目】已知函數(shù)，

(1)若,求函數(shù)的極值及單調(diào)區(qū)間；

(2)若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 時(shí)， 有極小值,無(wú)極大值， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，(2)

【解析】試題分析：(1)當(dāng)時(shí),求得 ,根據(jù)和的解集，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在區(qū)間上存在一點(diǎn),使得成立,轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上的最小值小于0，當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上的最小值為，進(jìn)而根據(jù)和分類討論，即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

(1)當(dāng)時(shí), ,令,解得,又函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,由,得,由,得,所以時(shí)， 有極小值,無(wú)極大值，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)若在區(qū)間上存在一點(diǎn),使得成立,即在區(qū)間上的最小值小于0. ,且,令,得到

當(dāng),即時(shí), 恒成立,即在區(qū)間上單調(diào)遞減故

在區(qū)間上的最小值為，

由,得, ,當(dāng)即時(shí)，

①若,則對(duì)成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減

則在區(qū)間 上的最小值為,

顯然, 在區(qū)間的最小值小于0不成立.②若,即時(shí),則有

	-	0	+
		極小值

所以在區(qū)間上的最小值為,由

,得,解得,即，

綜上,由①②可知, 符題意.