【題目】已知函數(shù),
(1)若,求函數(shù)的極值及單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點,使成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 時, 有極小值,無極大值, 的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,(2)
【解析】試題分析:(1)當時,求得 ,根據(jù)和的解集,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上存在一點,使得成立,轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上的最小值小于0,當時, 在區(qū)間上的最小值為,進而根據(jù)和分類討論,即可確定實數(shù)的取值范圍.
試題解析:
(1)當時, ,令,解得,又函數(shù)的定義域為,由,得,由,得,所以時, 有極小值,無極大值,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)若在區(qū)間上存在一點,使得成立,即在區(qū)間上的最小值小于0. ,且,令,得到
當,即時, 恒成立,即在區(qū)間上單調(diào)遞減故
在區(qū)間上的最小值為,
由,得, ,當即時,
①若,則對成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減
則在區(qū)間 上的最小值為,
顯然, 在區(qū)間的最小值小于0不成立.②若,即時,則有
- | 0 | + | |
極小值 |
所以在區(qū)間上的最小值為,由
,得,解得,即,
綜上,由①②可知, 符題意.
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【題目】如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連結(jié)PE并延長交AB于點G.
(Ⅰ)證明:G是AB的中點;
(Ⅱ)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.
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【題目】已知曲線C1上任意一點M到直線l:y=4的距離是它到點F(0,1)距離的2倍;曲線C2是以原點為頂點,F為焦點的拋物線.
(1)求C1,C2的方程;
(2)設過點F的直線與曲線C2相交于A,B兩點,分別以A,B為切點引曲線C2的兩條切線l1,l2,設l1,l2相交于點P,連接PF的直線交曲線C1于C,D兩點,求的最小值.
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【題目】已知實數(shù)及函數(shù)
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設集合,使在上恒成立的的取值范圍記作集合,求證: 是的真子集.
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【題目】已經(jīng)函數(shù)的定義域為,設
(1)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)
(2)求證
(3)若不等式(為正整數(shù))對任意正實數(shù)恒成立,求的最大值.(解答過程可參考使用以下數(shù)據(jù))
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, , .
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)若動點在底面邊界及內(nèi)部,二面角的余弦值為,求的最小值.
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【題目】已知橢圓的離心率,左、右焦點分別為,且與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過的直線交橢圓于兩點,過的直線交橢圓于兩點,且,求的最小值.
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