Question

有以下四個命題：
①f（x）=

1

x

在[0，1]上連續(xù)；
②若f（x）是（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則f（x）在（a，b）內(nèi)有最大值和最小值；
③

lim

x→ π 2

2sin2x

cosx

=4；
④若f（x）=

x (x≥0) x+1 (x＜0).

則

lim

x→0

f（x）=0．
其中正確命題的序號是

 

．（請把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①f（x）=

1

x

在x=0處無意義，故不正確；②舉例說明即可，與若f（x）是[a，b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則f（x）在[a，b]內(nèi)有最大值和最小值矛盾；③屬于

0

0

型的求極限，根據(jù)羅比特法則即可求得結果；④f（x）=

x           (x≥0) x+1         (x＜0).

求出其左右極限，看是否相等，如果相等且為0，就正確，否則不正確．

解答：解：①f（x）=

1

x

的定義域是{x|x≠0}，故①不正確；
②如函數(shù)f（x）=x在區(qū)間（1，2）上連續(xù)，但是既沒有最大值也沒有最小值；故②不正確；
③

lim

x→ π 2

2sin2x

cosx

=

lim

x→ π 2

4cos2x

-sinx

=4

cos2× π 2

-sin π 2

=4，故③正確；
④

lim

x→x0+

f（x）=0，

lim

x→x0-

f（x）=0+1=1
∴

lim

x→0

f（x）不存在．
故答案為③．

點評：此題是個容易題．考查函數(shù)的連續(xù)性和極限及其運算，判斷命題真假，如果說明它是正確的，必須給以證明，反之，舉出反例即可．考查學生分析問題、解題問題的能力．