如圖，已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)，BC＝AA1．

(Ⅰ)證明AB1∥平面DBC1；

(Ⅱ)求異面直線AB1與BC1所成的角；

(Ⅲ)求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù)．

答案：
解析：

　　證明：(Ⅰ)∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四邊形B1BCC1是矩形．

　　連結(jié)B1C交BC1于E，則B1E＝EC．

　　連結(jié)DE，在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1，

　　又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1　　4分

　　(Ⅱ)設(shè)D1是A1C1的中點(diǎn)，則DD1⊥平面ABC．

　　所以，以DB為x軸，DC為y軸，DD1為z軸(如圖)建立空間直角坐標(biāo)系．

　　設(shè)AB＝2，則，，，，．

　　∴，，

　　∵，∴，

　　即，AB1與BC1所成的角為90°　　8分

　　(Ⅲ)∵BC的中點(diǎn)，∴，

　　∴可取平面CBC1的法向量為．

　　設(shè)平面BC1D的法向量為，

　　則

　　∴可取．

　　∵，

　　∴面DBC1與面CBC1所成的二面角為45°　　12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
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AP
=λ
AE
，
PD
=μ
CD
，
AB
=
a
，
BC
=
b
．
（1）求λ及μ；
（2）用
a
，
b
表示
BP
；
（3）求△PAC的面積．

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20、如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
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3
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