Question

8．已知tanα-tanβ=2tan²αtanβ，α，β≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），求$\frac{sin（2α+β）}{sinβ}$值．

Answer 1

分析 利用已知條件推出tanβ=$\frac{tanα}{2{tan}^{2}α+1}$，化簡所求表達式，消去β，求解即可．

解答 解：∵tanα-tanβ=2tan²αtanβ，
∴移項得，tanα=tanβ（1+2tan²α），
可得：tanβ=$\frac{tanα}{2{tan}^{2}α+1}$
∵tan²α=sec²α-1=-1+$\frac{1}{{cos}^{2}α}$，
∴$\frac{sin（2α+β）}{sinβ}$=$\frac{sin2αcosβ+cos2αsinβ}{sinβ}$
=$\frac{sin2α（2{tan}^{2}α+1）}{tanα}+cos2α$
=4-2cos²α+2cos²α-1=3．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．