Question

數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，已知{S_n}是各項(xiàng)為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列，試比較

an+an+2

2

與an+1的大小．

Answer 1

分析：由已知根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求出Sn的表達(dá)式，再利用數(shù)列中a_n與 Sn關(guān)系求出a_n，用作差法進(jìn)行大小比較．

解答：解：由已知，s_n=q^{n-1，當(dāng)n=1時(shí)}，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=q^n-1-q^n-2=q^n-2（q-1）．
（1）n=1時(shí)，

a1+a3

2

-a2=

1+(q2-q)

2

-（q-1）=

q2-3q+3

2

=

1

2

(q-

3

2

)2+

3

8

＞0，即

a1+a3

2

＞a2
（2）n≥2時(shí)，

an+an+2

2

-an+1=

qn-2(q-1)+qn(q-1)

2

-qn-1(q-1)=

1

2

(q-1)qn-2 (q-1)2=
=

1

2

qn-2(q-1)3
∵q^n-2＞0
∴當(dāng)q=1時(shí)，

an+an+2

2

=an+1；
當(dāng)q＞1時(shí)，

an+an+2

2

＞an+1；
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，

an+an+2

2

＜an+1；

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、利用a_n，與Sn關(guān)系求通項(xiàng)、作差法比較大小、分類(lèi)討論的思想．本題要注意對(duì)n，q進(jìn)行分類(lèi)討論．