Question

16．關(guān)于函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{4}$）有以下命題：
①若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上是減函�。�
③將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個單位，得到的圖象關(guān)于原點對稱；
④函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象相同．
其中正確命題為②④（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 ①由f（x₁）=f（x₂）=0，可得$2{x}_{1}-\frac{π}{4}$=${k}_{1}π+\frac{π}{2}$，$2{x}_{2}-\frac{π}{4}$=${k}_{2}π+\frac{π}{2}$，化簡即可判斷出正誤；
②由x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]，可得$（2x-\frac{π}{4}）$∈[0，π]，即可判斷出單調(diào)性；
③將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個單位，得到函數(shù)g（x）=$cos[2（x+\frac{π}{8}）-\frac{π}{4}]$=cos2x，即可判斷出圖象的對稱性；
④利用誘導(dǎo)公式可得函數(shù)f（x）=$cos（\frac{π}{4}-2x）$=$sin[\frac{π}{2}-（\frac{π}{4}-2x）]$=$sin（2x+\frac{π}{4}）$，即可判斷出正誤．

解答 解：關(guān)于函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{4}$）有以下命題：
①若f（x₁）=f（x₂）=0，則$2{x}_{1}-\frac{π}{4}$=${k}_{1}π+\frac{π}{2}$，$2{x}_{2}-\frac{π}{4}$=${k}_{2}π+\frac{π}{2}$，∴x₁-x₂=$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{2}$π（k₁，k₂，k∈Z），因此不正確；
②由x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]，可得$（2x-\frac{π}{4}）$∈[0，π]，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上是減函數(shù)，正確；
③將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個單位，得到函數(shù)g（x）=$cos[2（x+\frac{π}{8}）-\frac{π}{4}]$=cos2x，其圖象關(guān)于y軸對稱，因此不正確；
④函數(shù)f（x）=$cos（\frac{π}{4}-2x）$=$sin[\frac{π}{2}-（\frac{π}{4}-2x）]$=$sin（2x+\frac{π}{4}）$，因此函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象相同，因此正確．
綜上正確命題為：②④．
故答案為：②④．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．