Question

12．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$．
（1）求f（x）定義域：
（2）判斷f（x）奇偶性；
（3）求證f（x）在定義域上為單調(diào)增函數(shù)；
（4）大致畫出函數(shù)的草圖．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式可得2^x≠0，求得x∈R，可得函數(shù)的定義域為R．
（2）再根據(jù)f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$-2^x =-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）根據(jù)導數(shù)的符號可得函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$在定義域上得單調(diào)性．
（4）結(jié)合函數(shù)的解析式以及性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$的圖象．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，可得2^x≠0，求得x∈R，可得函數(shù)的定義域為R．
（2）再根據(jù)f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$-2^x =-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）由于f′（x）=2^xln2+$\frac{ln2}{{2}^{x}}$＞0，可得函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．
（4）函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$的圖象如圖所示：

點評 本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，函數(shù)的圖象，屬于中檔題．