Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

m

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），

n

=（-1，1）且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=1，B=45°，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量的綜合題

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）先根據(jù)向量垂直建立等式求得cosA的值，進而求得A．
（Ⅱ）先利用兩角和公式求得sinC的值，進而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

，
∴-cosBcosC+sinBsinC-

3

2

=0，即cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=-cosA=-

3

2

，
∴A=30°．
（Ⅱ）sinC=sin（18°-A-B）=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

，
由正弦定理知c=

asinC

sinA

=

sin105°•1

sin30°

=

6 + 2

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

6 + 2

2

=

3 +1

4

．

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，三角函數(shù)恒等變換的應用，平面向量的基礎(chǔ)知識．綜合考查了學生運用基礎(chǔ)知識的能力．