Question

已知x，y滿足不等式組

x-y≥0 x+2y≥0 x≤2

，則z=x-2y的最大值與最小值的和為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可．

解答： 解：由z=x-2y得y=

1

2

x-

z

2

，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
平移直線y=

1

2

x-

z

2

，
由圖象可知當(dāng)直線y=

1

2

x-

z

2

，過點A時，直線y=

1

2

x-

z

2

的截距最大，此時z最小，
由

x=2 x-y=0

，解得

x=2 y=2

，即A（2，2）．
代入目標(biāo)函數(shù)z=x-2y，
得z=2-4=-2．
∴目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是-2．
經(jīng)過點C時，直線y=

1

2

x-

z

2

的截距最小，此時z最大，
由

x=2 x+2y=0

，解得

x=2 y=-1

，即C（2，-1）．
代入目標(biāo)函數(shù)z=x-2y，
得z=2+2=4
∴目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是4．
則z=x-2y的最大值與最小值的和為4-2=2．
故答案為：2

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．