Question

設函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+18（a∈R）
（1）判斷f（x）在定義域上的單調性；
（2）求f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

（1）函數(shù)的導數(shù)為f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）．
①若a=1，則f'（x）=6（x-1）²≥0恒成立，所以此時函數(shù)f（x）在R上單調遞增．
②若a＞1，則由f'（x）＞0得x＞a或x＜1，此時函數(shù)f（x）單調遞增．由f'（x）＜0得1＜x＜a，此時函數(shù)f（x）單調遞減．
③若a＜1，則由f'（x）＞0得x＞1或x＜a，此時函數(shù)f（x）單調遞增．由f'（x）＜0得a＜x＜1，此時函數(shù)f（x）單調遞減．
綜上，若a=1，函數(shù)f（x）在R上單調遞增．
若a＞1，f（x）在（a，+∞）和（-∞，1）上單調遞增，在（1，a）上函數(shù)f（x）單調遞減．
若a＜1，f（x）在（1，+∞）和（-∞，a）上單調遞增，在（a，1）上函數(shù)f（x）單調遞減．
（2）由（1）知，若a=1，函數(shù)f（x）在R上單調遞增．所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=22．
若a＜1，f（x）在（1，+∞）單調遞增，所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=22．
若a＞1，因為f（1）=3a+17，由f（1）=3a+17=22得，a=

5

3

．
當a=

5

3

時，所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=22．
當1＜a＜

5

3

時，f（1）＜f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=22．
當a≥

5

3

時，f（1）＞f（22），所以f（x）在[1，2]上的最大值為f（1）=3a+17．