Question

如圖，一個圓錐和一個圓柱組成了一個幾何體，其中圓錐和圓柱的底面半徑相同，點O，O′，分別是圓柱的上下底面的圓心，AB，CD都為直徑，點P，A，B，C，D五點共面，點N是弧AB上的任意一點（點N與A，B不重合），點M為BN的中點，N′是弧CD上一點，且NN'∥AD，PA=AB=BC=2．
（1）求證：BN⊥平面POM；
（2）求證：平面POM∥平面ANN′D；
（3）若點N為弧AB的三等分點且

AN

=

1

3

AB

，求面ANP與面POM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）證明BN⊥平面POM，連接ON，只需證明BN⊥OM，BN⊥PM，利用線面垂直的判定可證；
（2）連接AN，證明ON∥平面ANN′D，PO∥平面ANN′D，利用面面平行的判定，即可證明平面POM∥平面ANN′D；
（3）過點P作直線l∥OM，取AN中點E，連接PE、EO，可得∠EPO為平面PAN與平面POM所成角，求出PE，OE，即可求得
面ANP與面POM所成角的正弦值．

解答：（1）證明：連接ON
∵ON=OB，M為BN的中點，∴△ONB中，BN⊥OM
∵PN=PB，M為BN的中點，∴△PNB中，BN⊥PM
∵OM∩PM=M，
∴BN⊥平面POM；
（2）證明：連接AN
∵O，M分別為AB，BN的中點，∴OM∥AN
∵OM?平面ANN′D，AN?平面ANN′D
∴ON∥平面ANN′D
∵PO∥NN′，PO?平面ANN′D，NN′?平面ANN′D
∴PO∥平面ANN′D
∵OM∩PO=0，
∴平面POM∥平面ANN′D；
（3）解：過點P作直線l∥OM，∵點P在平面POM內(nèi)，∴l(xiāng)在平面POM內(nèi)．
又∵AN∥OM，∴直線l∥AN，∴l(xiāng)在平面PAN內(nèi)．
∴l(xiāng)為平面PAN與平面POM的交線，
取AN中點E，連接PE、EO，
∵PA=PN，∴PE⊥AN，∴PE⊥直線l，
又∵PO⊥OM，∴PO⊥直線l，∴∠EPO為平面PAN與平面POM所成角．
當(dāng)

AN

=

1

3

AB

時，AN=AO=1，
∴直角三角形PAE中，PE=

PA2-AE2

=

22-( 1 2 )2

=

15

2

，
又△ANO中，OE=

3

2

，
∴直角三角形POE中，sin∠EPO=

EO

PE

=

5

5

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、面面平行的判定，正確作出面面角，屬于中檔題．