Question

已知直線y=-2上有一個動點Q,過點Q作直線l₁垂直于x軸,動點P在l₁上,且滿足OP⊥OQ(O為坐標原點),記點P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程.
(2)若直線l₂是曲線C的一條切線,當點(0,2)到直線l₂的距離最短時,求直線l₂的方程.

Answer 1

(1) x²=2y(x≠0)   (2) x-y-1=0或x+y+1=

(1)設(shè)點P的坐標為(x,y),則點Q的坐標為(x,-2).
∵OP⊥OQ,∴當x=0時,P,O,Q三點共線,不符合題意,故x≠0.當x≠0時,得k_OP·k_OQ=-1,即·=-1,化簡得x²=2y,
∴曲線C的方程為x²=2y(x≠0).
(2)∵直線l₂與曲線C相切,∴直線l₂的斜率存在.
設(shè)直線l₂的方程為y=kx+b,
由得x²-2kx-2b=0.
∵直線l₂與曲線C相切,
∴Δ=4k²+8b=0,即b=-.
點(0,2)到直線l₂的距離
d==·
=(+)
≥×2
=.
當且僅當=,即k=±時,等號成立.此時b=-1.
∴直線l₂的方程為x-y-1=0或x+y+1=0.