Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$（x＞0，x≠1）
（1）求函數(shù)f（x）的極值
（2）若不等式${e}^{\frac{x}{a}}$＞x對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)x≤0時，對任意a≠0，不等式恒成立；當(dāng)x＞0時，在${e}^{\frac{x}{a}}$＞x兩邊取自然對數(shù)，得$\frac{x}{a}$＞lnx，再分0＜x≤1，x＞1，進(jìn)行討論，進(jìn)而可求a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，
令f′（x）=0，解得x=e，列表

x	（0，1）	（1，e）	e	（e，+∞）
f′（x）	-	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	單調(diào)遞減	極小值f（e）	單調(diào)遞增

由表得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（1，e），單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）；
所以極小值為f（e）=e，無極大值．
（2）當(dāng)x≤0時，對任意a≠0，不等式恒成立；
當(dāng)x＞0時，在${e}^{\frac{x}{a}}$＞x兩邊取自然對數(shù)，得$\frac{x}{a}$＞lnx，
1°當(dāng)0＜x≤1時，lnx≤0，當(dāng)a＞0，不等式恒成立；如果a＜0，lnx＜0，alnx＞0，不等式等價(jià)于a＜$\frac{x}{lnx}$，
由（1）得，此時$\frac{x}{lnx}$∈（-∞，0），不等式不恒成立．
2°當(dāng)x＞1時，lnx＞0，則a＞0，不等式等價(jià)于a＜$\frac{x}{lnx}$，
由（1）得，此時$\frac{x}{lnx}$的最小值為e，得0＜a＜e．
綜上：a的取值范圍是0＜a＜e．

點(diǎn)評 本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，同時考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有綜合性．