Question

5．政府向市民宣傳綠色出行（即乘公共汽車、地鐵或步行出行），并進(jìn)行廣泛動(dòng)員，三個(gè)月后，統(tǒng)計(jì)部門在一個(gè)小區(qū)隨機(jī)抽取了100戶家庭，調(diào)查了他們?cè)谡�府�?dòng)員后三個(gè)月的月平均綠色出行次數(shù)（單位：次），將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示）．
（1）請(qǐng)估計(jì)該小區(qū)在政府動(dòng)員后平均每月綠色出行多少次；
（2）由直方圖可以認(rèn)為該小區(qū)居民綠色出行次數(shù)M服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為小區(qū)平均綠色出行次數(shù)，σ²近似為綠色出行次數(shù)的方差．
①利用該正態(tài)分布求P（13＜M＜65）；
（注：P（μ-σ＜M＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜M＜μ+2σ）=0.9544）．
②為了解動(dòng)員后市民的出行情況，媒體計(jì)劃在上述家庭中，從政府動(dòng)員后月均綠色出行次數(shù)在[5，25）范圍內(nèi)的家庭中選出5戶作為采訪對(duì)象，其中在[5，15）內(nèi)抽到X戶，求P（X=4）．

Answer 1

分析 （1）取各個(gè)區(qū)間中點(diǎn)值為區(qū)間代表計(jì)算，即可求出；
（2）①由（1）知Z～N（39，169），從而P（13＜Z＜65）=P（39-26＜Z＜39+26）=0.9544；
②月均綠色出行次數(shù)在[5，25）范圍內(nèi)的家庭中，[5，15）有5戶，[15，25）有10戶，即可求出P（X=4）．

解答 解：（1）取各個(gè)區(qū)間中點(diǎn)值為區(qū)間代表計(jì)算得：
$\overline{x}$=10×0.05+20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.25+60×0.1=39，
s²=（-29）²×0.05+（-19）²×0.1+（-9）²×0.2+1×0.3+11²×0.25+21²×0.1=169．
（2）①由（1）知Z～N（39，169），從而P（13＜Z＜65）=P（39-26＜Z＜39+26）=0.9544；
②月均綠色出行次數(shù)在[5，25）范圍內(nèi)的家庭中，[5，15）有5戶，[15，25）有10戶，
所以P（X=4）=$\frac{{C}_{5}^{4}{C}_{10}^{1}}{{C}_{15}^{5}}$=$\frac{50}{3003}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查頻率分布直方圖，以及正態(tài)分布的特點(diǎn)及概率求解，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．