Question

如果函數(shù)f（x）對給定區(qū)間l上任意兩個實(shí)數(shù)x₁，x₂都滿足不等式f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間l上具有性質(zhì)M．
（1）寫出一個對數(shù)函數(shù)f（x），使得f（x）在（0，+∞）上具有性質(zhì)M；（不需說明理由）
（2）（i）求證：函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，+∞）上具有性質(zhì)M；
（ii）設(shè)x，y∈R^*，且x 

3

2

+y 

3

2

=a（a為正常數(shù)），試求x³+y³的最小值；
（3）已知函數(shù)f（x）=

x2+2x，x≥-2 x+2，x＜-2

，若實(shí)數(shù)a使得f（x）在區(qū)間[a，5]（a＜5）上具有性質(zhì)M，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：證明題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）舉底數(shù)為（0，1）的對數(shù)函數(shù)；
（2）（ⅰ）運(yùn)用新定義證明f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，即可；
（ⅱ）運(yùn)用f（x）=x²在區(qū)間[0，+∞）上具有性質(zhì)M，將

x3+y3

2

=

x 3 2 ×2+y 3 2 ×2

2

，即可求出最小值；
（3）討論：①當(dāng)-2≤a≤5時，f（x）=x²+x，運(yùn)用作差驗(yàn)證f（x）在區(qū)間[a，5]（a＜5）上具有性質(zhì)M．
②當(dāng)a＜-2時，f（x）在區(qū)間[a，5]（a＜5）上不具有性質(zhì)M．

解答： （1）解：y=log_0.5x；
（2）（�。┳C明：設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），
∵（

x1+x2

2

）²-

1

2

（x₁²+x₂²）=-

1

4

（x₁-x₂）²≤0，
∴函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，+∞）上具有性質(zhì)M；
（ⅱ）解：∵

x3+y3

2

=

x 3 2 ×2+y 3 2 ×2

2

≥（

x 3 2 +y 3 2

2

）²=

1

4

a²，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號）
∴x³+y³的最小值是

1

2

a²；
（3）解：①當(dāng)-2≤a≤5時，f（x）=x²+x，在[a，5]內(nèi)任取兩個數(shù)x₁，x₂，
∵f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

-

1

2

（x₁²+x₂²+2x₁+2x₂）
=-

1

4

（x₁-x₂）²≤0，
∴f（x）在區(qū)間[a，5]（a＜5）上具有性質(zhì)M．
②下面說明當(dāng)a＜-2時，f（x）在區(qū)間[a，5]（a＜5）上不具有性質(zhì)M．
設(shè)t是2和-2-a中較小的數(shù)，令x₁=-2-t，x₂=-2+t，此時x₁，x₂∈[a，0]且f（x₁），f（x₂）的值均為負(fù)數(shù)，
∴f（x₁）+f（x₂）＜0，而f（

x1+x2

2

）=f（-2）=0，
∴當(dāng)a＜-2時，f（x）在區(qū)間[a，5]（a＜5）上不具有性質(zhì)M．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，5]．

點(diǎn)評：本題考查新定義及運(yùn)用，考查求最值，理解性質(zhì)M是迅速解題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題．