Question

求函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x的最小值，并寫出使函數(shù)y取最小值的x的集合．

Answer 1

分析：把函數(shù)關(guān)系式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡后，提取

2

然后根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式的逆運算及特殊角的三角函數(shù)值把y化為一個角的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象得到y(tǒng)的最小值及y取最小值時x的范圍．

解答：解：y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+2sinxcosx+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=2+sin2x+cos2x
=2+

2

sin（2x+

π

4

）．
當(dāng)sin（2x+

π

4

）=-1時，y取得最小值2-

2

當(dāng)且僅當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

即x=kπ-

3

8

π時取最小，
取最小值的x的集合為{x|x=kπ-

3

8

π，k∈Z}．

點評：考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，會根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得到正弦函數(shù)的最值及取最值時角度的范圍．