Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在上的最大值為，求實數(shù)b的值；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g(shù)（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)，對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數(shù)，令f′（x）=0，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而可得函數(shù)的最大值，由此可求b的值；
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范圍；
（3）由條件，，假設(shè)曲線y=F（x）上存在兩點P，Q滿足題意，則P，Q只能在y軸兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，F(xiàn)（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），且t≠1，則是否存在P，Q等價于方程-t²+F（t）（t³+t²）=0在t＞0且t≠1時是否有解．
解答：解：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或．
列表如下：

x
f′（x）		-		+		-
f（x）		↘	極小值	↗	極大值	↘

∵，，
∴，
即最大值為，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號不能同時取，
∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0，
∴恒成立，即．
令，求導得，，
當x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+1-2lnx＞0，從而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上為增函數(shù)，∴t_min（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）
（3）由條件，，
假設(shè)曲線y=F（x）上存在兩點P，Q滿足題意，則P，Q只能在y軸兩側(cè)，
不妨設(shè)P（t，F(xiàn)（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），且t≠1．
∵△POQ是以O(shè)（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，∴，
∴-t²+F（t）（t³+t²）=0…（*），…（10分）
是否存在P，Q等價于方程（*）在t＞0且t≠1時是否有解．
①若0＜t＜1時，方程（*）為-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，化簡得t⁴-t²+1=0，此方程無解；  …（11分）
②若t＞1時，（*）方程為-t²+alnt•（t³+t²）=0，即，
設(shè)h（t）=（t+1）lnt（t＞1），則，
顯然，當t＞1時，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴h（t）的值域為（h（1），+∞），即（0，+∞），∴當a＞0時，方程（*）總有解．
∴對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=F（x）上總存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．…（14分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查是否存在問題的探究，綜合性強．