Question

選修4-5：不等式選講　 設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-4|-a．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+1|+|x-4|-1≥|（x+1）-（x-4）|-1=5-1=4．
所以函數(shù)f（x）的最小值為4．
（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立?|x+1|+|x-4|-1≥a+對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立?a+≤4對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．
當(dāng)a＜0時(shí)，上式顯然成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，a+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=即a=2時(shí)上式取等號(hào)，此時(shí)a+≤4成立．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪{2}．
分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求得最小值；
（2）?|x+1|+|x-4|-1≥a+?a+≤4，對(duì)a進(jìn)行分類討論可求a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)、基本不等式以及恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決，．