Question

定義在R的減函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y），對于任意的x∈R，總有f（x）＞0，且f（1）=

1

2

，則使f（a）＞4成立a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令y=0，由條件即可得到f（0）=1，由于f（1）=

1

2

，則可得到f（-1）=2，即有f（-2）=f（-1）•f（-1）=4，f（a）＞4即為f（a）＞f（-2），再由單調(diào)性即可得到a的范圍．

解答： 解：由于f（x+y）=f（x）•f（y），
令y=0，則f（x）=f（x）•f（0），
由于任意的x∈R，總有f（x）＞0，
則f（0）=1，
由于f（1）=

1

2

，
則f（0）=f（1-1）=f（1）•f（-1）=1，
即有f（-1）=2，
則f（-2）=f（-1）•f（-1）=4，
即有f（a）＞4即為f（a）＞f（-2），
再由f（x）是定義在R的減函數(shù)，
則a＜-2．
故答案為：（-∞，-2）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．