Question

【題目】在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列.記.

（1）求數(shù)列和的通項；

（2）當(dāng)時，比較與大小并證明結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；證明見解析；

【解析】

（1）由1，，，，，，成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，從而可求；1，，，，，，2這個數(shù)成等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得從而可求．

（2）由（1）可求，，轉(zhuǎn)化比較，的大小，先取，8，9代入計算，觀察與的大小，做出猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

（1），，，，，2成等比數(shù)列，

，

，

．

，，，，，2成等差數(shù)列，

，

．

所以，數(shù)列的通項，數(shù)列的通項．

（2），，

，，

要比較和的大小，只需比較與的大小，

也即比較當(dāng)時，與的大小．

當(dāng)時，，，得知，

經(jīng)驗證，時，均有命題成立．

猜想當(dāng)時有．用數(shù)學(xué)歸納法證明．

①當(dāng)時，已驗證，命題成立．

②假設(shè)時，命題成立，即，

那么，

又當(dāng)時，有，

．

這就是說，當(dāng)時，命題成立．

根據(jù)①、②，可知命題對于都成立．

故當(dāng)時，．