Question

（A題）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時(shí)都取得極值．
（1）求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=f（x）-2c，試討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可，寫出函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性情況；
（2）由（1）知：f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，f（-

2

3

）=

22

27

+c為極大值，當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=c-

3

2

為極小值，由于g(x)=f(x)-2c=0?

y=f(x) y=2c

，則對(duì)c進(jìn)行討論，即可得到答案．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c知，f′（x）=3x²+2ax+b
由于函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時(shí)都取得極值
則f′（-

2

3

）=3×（-

2

3

）²+2a×（-

2

3

）+b=

12

9

-

4

3

a+b=0，
f′（1）=3×1²+2a×1+b=3+2a+b=0
解得a=-

1

2

，b=-2
則f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-

2

3

）與（1，+∞），遞減區(qū)間是（-

2

3

，1）；
（2）由（1）知：f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，f（-

2

3

）=

22

27

+c為極大值，當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=c-

3

2

為極小值，
由于g(x)=f(x)-2c=0?

y=f(x) y=2c

，則
①當(dāng)2c＜c-

3

2

或2c＞c+

22

27

，即c＜-

3

2

或c＞

22

27

時(shí)，g（x）的有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)c-

3

2

＜2c＜c+

22

27

，即-

3

2

＜c＜

22

27

時(shí)，g（x）的有三個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)c=-

3

2

或c=

22

27

時(shí)，g（x）的有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題，屬于中檔題．