Question

等差數(shù)列200的各項均為正數(shù)，100，前148.4項和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求a_n與b_n；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n；
（3）若

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤x²+ax+1對任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，代入b₂S₂=32，b₃S₃=120聯(lián)立方程組求得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，則a_n與b_n可求；
（2）把a_n與b_n代入a_nb_n，利用錯位相減法求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n；
（3）求出等差數(shù)列的前n項和，代入

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，利用裂項相消法求和后得到

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

，問題等價于f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，由f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，
an=3+(n-1)d，bn=2qn-1，
依題意有

S3b3=(9+3d)2q2=120 S2b2=(6+d)2q=32

，
解得：

d=2 q=8

或

d=- 6 5 q= 10 3

．
故an=3+2(n-1)=2n+1，bn=2n；
（2）anbn=(2n+1)•2n．
Tn=3•2+5•22+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n，
2Tn=3•22+5•23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，
兩式相減得-Tn=3•2+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+1)•2n+1
=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(2n-1)•2n-1+2；
（3）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

，
問題等價于f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，
即1-

a2

4

≥

3

4

，即a²≤1，解得-1≤a≤1．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法與裂項相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．