Question

13．如圖AB是圓O的一條弦，過點(diǎn)A作圓的切線AD，作BD⊥AD，與該圓交于點(diǎn)E，若AD=2$\sqrt{3}$，DE=2．
（1）求圓O的半徑；
（2）若點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，求證O，H，E三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）取BD中點(diǎn)為F，連結(jié)OF，求出BD，可得BF，利用勾股定理求圓O的半徑；
（2）證明四邊形OADE為平行四邊形，利用H為AB的中點(diǎn)，即可證明O，H，D三點(diǎn)共線．

解答 （1）解：取BD中點(diǎn)為F，連結(jié)OF，
由題意知，OF∥AD，OF=AD，
∵AD為圓O的切線，BD為割線，
∴AD²=DE•DB，
由AD=2$\sqrt{3}$，DE=2，
∴BD=6，
∴BE=4，BF=2，
在Rt△OBF中，由勾股定理得，$r=OB=\sqrt{O{F^2}+B{F^2}}=4$．（5分
（2）證明：由（1）知，OA∥BE，OA=BE，
∴四邊形OAEB為平行四邊形，
又∵H為AB的中點(diǎn)，
∴OE與AB交于點(diǎn)H，
∴O，H，E三點(diǎn)共線．（10分）

點(diǎn)評 本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到圓的切線的性質(zhì)，切割線定理等內(nèi)容．本小題重點(diǎn)考查考生對平面幾何推理能力．