Question

已知奇函數(shù)f（x）在x＞0時，f（x）=

1

3

x³-lnx，則f（x）在區(qū)間[-2，-

1

2

]上的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f（x）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：設(shè)x＜0，則-x＞0．
∵x＞0時，f（x）=

1

3

x³-lnx，
∴f（-x）=-

1

3

x³-ln（-x），
函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=

1

3

x³+ln（-x），
f′（x）=x2+

1

x

=

x3+1

x

，
令f′（x）=0，解得x=-1．
當(dāng)x∈[-2，-1）時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-1，-

1

2

]時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值即最大值，f（-1）=-

1

3

．
而f（-2）=ln2-

8

3

，f（-

1

2

）=-

1

24

-ln2．
∴f（-2）＜f(-

1

2

)．
∴f（x）在區(qū)間[-2，-

1

2

]上的值域為[ln2-

8

3

，-

1

3

]．
故答案為：[ln2-

8

3

，-

1

3

]．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．