Question

（本題滿分13分）如圖，分別過(guò)橢圓：左右焦點(diǎn)、的動(dòng)直線相交于點(diǎn)，與橢圓分別交于不同四點(diǎn)，直線的斜率、、、滿足．已知當(dāng)軸重合時(shí)，，．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)，使得為定值．若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）  （2）M、N坐標(biāo)分別為；為定值

試題分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出橢圓E的方程．
（2）焦點(diǎn)F₁、F₂坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0），當(dāng)直線l₁，l₂斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為m₁，m₂，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得(2+3m₁²)x²+6m₁²x+3m₁²?6＝0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在點(diǎn)M，N其坐標(biāo)分別為（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．
（1）當(dāng)l₁與x軸重合時(shí)，，即，         2分
∴l(xiāng)₂垂直于x軸，得，，（4分）
得，，　　∴橢圓E的方程為．   5分
（2）焦點(diǎn)、坐標(biāo)分別為(—1，0)、(1，0)．
當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(—1，0)或(1，0)．   6分
當(dāng)直線l₁、l₂斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為，，設(shè)，，
由得：，
∴，．（7分）

，
同理．   9分
∵，∴，即．
由題意知，　∴．
設(shè)，則，即，   11分
由當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(—1，0)或(1，0)也滿足此方程，
∴點(diǎn)橢圓上，   12分
∴存在點(diǎn)M、N其坐標(biāo)分別為，使得為定值．  13分