Question

已知函數(shù)f(x)對(duì)一切x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)若x∈R^＋時(shí)，總有f(x)＜0，且f(1)＝－，試求f(x)在區(qū)間［－2，6］上的最值

Answer 1

答案：
解析：

(1)略 (2)首先討論f(x)在(0，＋∞)上的增減性．在(0,＋∞)上任取0＜x1＜x2，則有f(x2)＝f［x1＋(x2－x1)］＝f(x1)＋f(x2－x1)． ∵x2＞x1，∴x2－x1＞0, 又∵x∈R＋時(shí)，有f(x)＜0． ∴f(x2－x1)＜0, ∴f(x2)＜f(x1)． 即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 又∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)． ∴f(x)在(－∞,0)上也單調(diào)遞減，且f(x)在x＝0處有定義． ∴f(x)在R上單調(diào)遞減． ∴f(x)在［－2，6］上時(shí)，有x＝－2處取得最大值，在x＝6處，取得最小值． ∵f(1)＝－∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1． f(6)＝2f(3)＝2［f(1)＋f(2)］＝－3． ∴f(x)在［－2，6］上的最大值為1,最小值為－3．