(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.
分析:(Ⅰ)利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式分別化簡函數(shù)f(x)解析式的前兩項(xiàng),整理后,再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
]列出關(guān)于x的方程,求出方程的解即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)由f(A)=0,把x=A代入第一問化簡后的函數(shù)解析式,利用特殊角的三角函數(shù)中求出A的度數(shù),由已知的a小于b,根據(jù)三角形中大邊對大角得到A小于B,即A為銳角,進(jìn)而得到滿足題意的A的度數(shù),由A的度數(shù)求出sinA的值,再由a與b的值,利用正弦定理求出sinB的值,再利用特殊角的三角函數(shù)中求出B的度數(shù),利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù),可得出sinC的值,由sinC,a與b的值,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

=
3
4
sin2x+
3
4
cos2x

=
3
2
sin(2x+
π
3
)
,…(2分)
2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z
,…(4分)
解得:kπ-
12
≤x≤kπ+
π
12
,
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
12
,kπ+
π
12
],k∈Z
;…(6分)
(Ⅱ)∵f(A)=0,
∴f(A)=
3
2
sin(2A+
π
3
)=0
,
解得:A=
π
3
A=
5
6
π

又a<b,∴A<B,
A=
π
3
,…(8分)又a=
3
,b=2,
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得:sinB=
bsinA
a
=1,
B=
π
2
,
∴C=π-(A+B)=
π
6
,…(10分)
則△ABC的面積S=
1
2
absinC=
3
2
.…(12分)
點(diǎn)評:此題考查了正弦定理,三角形的面積公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.
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(1)求證:直線AF∥平面BEC1;
(2)求點(diǎn)C到平面BEC1的距離.

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(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcos(x+
π
3
)+
3
4

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

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(2011•黑龍江一模)已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC為正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E為AA1的中點(diǎn),F(xiàn)為BC中點(diǎn).
(1)求證:直線AF∥平面BEC1;
(2)求平面BEC1和平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

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