Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長為，且兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為一個正方形的頂點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．在線段上是否存在點(diǎn)，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，

請說明理由；

（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，，且點(diǎn)到直線的距離等于，試求動點(diǎn)的軌

跡方程．

Answer 1

【答案】(1) .

(2).

(3) .

【解析】

分析：（1）橢圓方程可設(shè)為，利用兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn)，且短軸長為2，即可求得橢圓方程；
（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本�與軸不垂直，所以可設(shè)直線的方程為，，與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理．根據(jù)以為鄰邊的平行四邊形是菱形等價于得 ，即 ，，由此可確定的取值范圍．

（3）設(shè)，由得 ①

又點(diǎn)在橢圓上，得 ②

聯(lián)立①、②得 ，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于，由此能求出D點(diǎn)軌跡方程．

詳解：

（1，由題意得，

所以，

因此所求橢圓方程為．

（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．

因?yàn)橹本�與軸不垂直，所以可設(shè)直線的方程為，坐標(biāo)分別為

．

由 得 ．

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得 ．

由于，其中，

由得 ，即 ，

因此．

（3）設(shè)，由得 ①

又點(diǎn)在橢圓上，得 ②

聯(lián)立①、②得 ③

由，得，

兩邊平方得 ，則得．

即 ．

將③代入上式得 ，

化簡，得點(diǎn)的軌跡方程是 ．