【題目】已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),為橢圓上的兩點(diǎn)(異于),連結(jié),且斜率是斜率的倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線恒過定點(diǎn).
【答案】(1);
(2)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意列出方程組,解出方程組即可得橢圓方程;(2)連結(jié)設(shè),由橢圓的性質(zhì)可得出,故而可得,當(dāng)斜率不存在時(shí),設(shè),解出,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè),聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可得出,得出與的關(guān)系,代入直線方程即可得定點(diǎn).
(1)因?yàn)?/span>,所以,即橢圓的方程為
(2)連結(jié)設(shè)則
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以
因?yàn)?/span>,所以
當(dāng)斜率不存在時(shí),設(shè),不妨設(shè)在軸上方,
因?yàn)?/span>,所以
(ii)當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè),
即,所以
因?yàn)?/span>
所以,即或
當(dāng)時(shí),,恒過定點(diǎn),當(dāng)斜率不存在亦符合:當(dāng),,過點(diǎn)與點(diǎn)重合,舍去.
所以直線恒過定點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,,點(diǎn)A是PB的中點(diǎn),現(xiàn)沿AD將平面PAD折起,設(shè).
(1)當(dāng)為直角時(shí),求異面直線PC與BD所成角的大小;
(2)當(dāng)為多少時(shí),三棱錐的體積為?
(3)剪去梯形中的,留下長(zhǎng)方形紙片,在BC邊上任取一點(diǎn)E,把紙片沿AE折成直二面角,問E點(diǎn)取何處時(shí),使折起后兩個(gè)端點(diǎn)間的距離最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且以線段為直徑的圓過點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與拋物線交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為曲線:上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)又本l與橢圓C:交于,兩個(gè)不同的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
若直線l過點(diǎn),且原點(diǎn)到直線l的距離為,求直線l的方程;
若的面積,求證:和均為定值;
橢圓C上是否存在三點(diǎn)D、E、G,使得?若存在,判斷的形狀;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是菱形,底面,分別是的中點(diǎn),,,.
(I)證明:;
(II)求直線與平面所成角的正弦值;
(III)在邊上是否存在點(diǎn),使與所成角的余弦值為,若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)為拋物線外一點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,,切點(diǎn)分別為,.
(Ⅰ)若點(diǎn)為,求直線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為圓上的點(diǎn),記兩切線,的斜率分別為,,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(選做題)
A.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知m,n∈R,向量是矩陣的屬于特征值3的一個(gè)特征向量,求矩陣M及另一個(gè)特征值.
B.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線的參數(shù)方程為( t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為.設(shè)直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).
C.[選修4-5:不等式選講](本小題滿分10分)
已知x,y,z均是正實(shí)數(shù),且求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明它為何種曲線;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線交曲線于,兩點(diǎn),求的取值范圍.
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